一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为的球，则该棱柱体积的最大值...

画出图形，设底面正三角形的边长为a，然后根据勾股定理求得棱柱的高的一半，进而得到用a表示的三棱柱的体积，再利用导数即可求得答案． 【解析】 如图所示，设球心为O，正三棱柱的上下底面的中心分别为O1，O2，底面正三角形的边长为a， 则AO2=×a=． 由已知得O1O2⊥底面， 在Rt△OAO2中，∠AO2O=90°，由勾股定理得OO2===， ∴V三棱柱=a2×2×=， 令f（a）=9a4-a6（0＜a＜2）， 则f′（a）=36a3-6a5=-6a3（a2-6），令f′（a）=0， 又∵a＞0，解得a=． ∵在区间（0，）上，f′（a）＞0；在区间（，2）上，f′（a）＜0． ∴函数f（a）在区间（0，）上单调递增；在区间（，2）上单调递减． ∴函数f（a）在a=时取得极大值． ∵函数f（a）在开区间（0，2）有唯一的极值点，因此a=也是最大值点． ∴（V三棱柱）max=×=3． 故选C．