平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为 （1...

（1）利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x-y+1=0的距离，再由已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理求出圆O的半径，写出圆O的方程即可； （2）设出直线l的截距式方程，由直线l与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关系式，表示出DE的平方，将得出的关系式代入，整理后利用基本不等式求出DE平方的最小值，得到此时a与b的值，即可确定出此时直线l的方程； （2）存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，理由为：假设存在，设直线m方程为y=2x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线m与圆O方程联立组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，且得到根的判别式大于0，由以AB为直径的圆过原点，得到⊥，即数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理后将表示出两根之和与两根之积代入，得到关于b的方程，求出方程的解得到b的值，经检验满足题意，即可得到直线m的方程． 【解析】 （1）∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d=，直线截圆所得的弦长为， ∴圆O的半径r==， 则圆O的方程为x2+y2=2； （2）设直线l的方程为+=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0， ∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离d=r，即=， 整理得：+=， 则DE2=a2+b2=2（a2+b2）•（+）=2（2++）≥8， 当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l方程为x+y-2=0； （3）存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，理由为： 设存在斜率为2的直线m满足题意， 设直线m为y=2x+b，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立圆与直线解析式得：， 消去y得：5x2+4bx+b2-2=0， 依题意得：x1+x2=-，x1x2=，△＞0， ∵以AB为直径的圆经过原点， ∴⊥，∴x1x2+y1y2=0， 即x1x2+（2x1+b）（2x2+b）=5x1x2+2b（x1+x2）+b2=5×+2b×（-）+b2=0， 整理得：b2=5， 解得：b=±，经检验△＞0，符合题意， 则存在斜率为2的直线m满足题意，直线m为：y=2x±．