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已知函数f(x)=x3-3ax-1在x=-1处取得极值. (1)求a的值,并求f...

已知函数f(x)=x3-3ax-1在x=-1处取得极值.
(1)求a的值,并求f(x)在区间[-2,3]上的值域.
(2)若直线y=9x+m与y=f(x)的图象有三个不同的公共点,求m的取值范围.
(1)已知函数f(x)=x3-3ax-1,对其进行求导,根据极值点,可知f′(-1)=0,求出a的值,根据导数研究函数的最值问题; (2)直线y=9x+m与y=f(x)的图象有三个不同的公共点,对f(x)进行求导,求出其极值点,求出切点坐标,从而求出切线方程,求出截距,从而求解; 【解析】 (1)f'(x)=3x2-3a, ∴f'(-1)=0⇒a=1, f'(x)=3(x2-1)=3(x+1)(x-1)>0⇒x>1或x<-1; f'(x)<0⇒-1<x<1. 在区间[-2,3]上的单调递增区间分别为[-2,-1]、[1,3]; 递减区间为(-1,1)…(6分) ∴y极大值=f(-1)=1,y极小值=f(1)=-3,又f(-2)=-3,f(3)=17, ∴值域为[-3,17]…(8分) (2)在函数f(x)的图象上与直线y=9x+m平行的切线共有两条, 当直线两切线之间时,该直线与函数f(x)的图象有三个不同的交点. 由f′(x)=3(x2-1)=9⇒x=±2,故切点坐标为(-2,-3),(2,1), 切线方程分别为:y+3=9(x+2),它们在y轴上的截距分别为15、-17, ∴m的取值范围为(-17,15);
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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