设函数f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2， （I）求函数f（x）在...

（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），则函数f（x）在点M（e，f（e））处切线的斜率为f′（e）=2，由此能求出函数f（x）在点M（e，f（e））处的切线方程． （II）F（x）=ax2-（a+2）x+lnx+1，x＞0，F′（x）=2ax-（a+2）+=，x＞0，a＞0，令F′（x）=0，则x=，或，由此进行分类讨论，能求出函数F（x）的单调性． （III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，则x=1，由此列表讨论，能够推导出存在实数m=1和M=2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=H（x），x∈[]都有公共点． 【解析】 （I）f′（x）=lnx+1（x＞0）， 则函数f（x）在点M（e，f（e））处切线的斜率为f′（e）=2，f（e）=e， ∴所求切线方程为y-e=2（x-e），即y=2x-e． （II）F（x）=ax2-（a+2）x+lnx+1，x＞0 F′（x）=2ax-（a+2）+ = =，x＞0，a＞0， 令F′（x）=0，则x=，或， ①当0＜a＜2，即时，令F′（x）＞0，解得0＜x＜，或x＞； 令F′（x）＜0，解得＜x＜； ∴F（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）单调递减． ②当a=2，即时，F′（x）≥0恒成立， ∴F（x）在（0，+∞）上单调递增． ③当a＞2，即时，令F′（x）＞0，解得0＜x＜或x＞； 令F′（x）＜0，解得＜x＜； ∴F（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）单调递减． （III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，则x=1， 当x在区间（，e）内变化时，H′（x），H（x）的变化情况如下表： x （，1） 1 （1，e） e H′（x） - + H（x） 2- ↘ 极小值1 ↗ 2 又∵，∴函数的值域为[1，2]．  据此可得，若，则对每一个t∈[m，M]， 直线y=t与曲线y=H（x），x∈[，e]都有公共点； 并且对每一个t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直线y=t与曲线y=H（x），x∈[]都没有公共点． 综上，存在实数m=1和M=2，使得对每一个t∈[m，M]， 直线y=t与曲线y=H（x），x∈[]都有公共点．