已知椭圆（a＞b＞0）的一条准线方程为l：x=2，离心率为，过椭圆的下顶点B（0...

已知椭圆

（a＞b＞0）的一条准线方程为l：x=2，离心率为 manfen5.com 满分网

，过椭圆的下顶点B（0，-b）任作直线l₁与椭圆交于另一点P，与准线交于点Q．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若BP=2PQ，求直线直线l₁的方程；
（3）以BQ为直径的圆与椭圆及准线l分别交于点M（异于点B），问：BQ⊥MN能否成立？若成立，求出所有满足条件的直线l₁的方程；若不存在说明理由．

（1）利用椭圆准线方程为l：x=2，离心率为，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程；（2）利用BP=2PQ，确定P、Q坐标之间的关系，利用代入法可求Q的坐标，从而可求直线l1的方程；（3）分类讨论，确定圆的方程，从而可得M、N的坐标，即可求得结论．【解析】（1）由题意，，∴，c=1，∴b2=a2-c2=1， ∴椭圆的标准方程为；（2）设P（x1，y1），Q点坐标为（2，y），则 ∵BP=2PQ，B点为（0，-1） ∴x1=，y1=y- P点代入椭圆：（y-）2=1 ∴y2-y=0 ∴y=0或y=1 ∴Q（2，0）或（2，1） ∴直线l1的方程为y=x-1或y=x-1；（3）因为有两条直线，分别考虑 ①y=x-1，此时，以（0，-1）（2，1）两点连线为直径做圆，圆心为（1，0），半径r=，则此圆方程为：（x-1）2+y2=2 圆与椭圆方程、准线方程联立，可得M为（0，1），N为（2，-1） ∴MN的斜率为：k1==-1， ∵BQ斜率为k2=1， ∵k1k2=-1，∴BQ⊥MN； ②当另一条直线：y=x-1时，过（0，-1）（2，0）两点连线为直径做圆，圆心（1，-），r=，则此圆方程（x-1）2+（y+）2= 圆与准线方程联立，可得N为（2，-1），由（1）知M（0，1）满足，故此时不满足BQ⊥MN，综上，满足条件的直线l1的方程为y=x-1

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