设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{bn}定义如...

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若 manfen5.com 满分网

，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．

（I）先得出an，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；（II）先得出an，再解关于n的不等式，根据{bn}的定义求得bn再求得S2m；（III）根据bm的定义转化关于m的不等式恒成立问题．【解析】（Ⅰ）由题意，得，解，得． ∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．（Ⅱ）由题意，得an=2n-1，对于正整数m，由an≥m，得．根据bm的定义可知当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）． ∴b1+b2++b2m=（b1+b3++b2m-1）+（b2+b4++b2m）=（1+2+3++m）+[2+3+4++（m+1）]=．（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得． ∵bm=3m+2（m∈N*），根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有，即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q对任意的正整数m都成立．当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾！当3p-1=0，即时，得，解得．（经检验符合题意） ∴存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，．

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考点分析：

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