已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）求实数集R上的奇函数，函数g（x）...

（1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（-0）=-f（0）即f（0）=0，即可求a的值； （2）先利用函数g（x）的导函数g'（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，求出λ的取值范围以及得到g（x）的最大值g（-1）=-1-sin1；然后把g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立转化为-λ-sin1≤t2+λt+1（λ≤-1），整理得（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可． （3）先把方程转化为=x2-2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2-2ex+m  （x＞0），再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论． 【解析】 （1）因为函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数， 所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0， 则ln（e+a）=0解得a=0， a=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数； （2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx， 因为g（x） 在[-1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0  在[-1，1]上恒成立， ∴λ≤-1，g（x）max=g（-1）=-1-sin1， 只需-λ-sin1≤t2+λt+1（λ≤-1）， ∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立， 令h（λ）=（t+1）+t2+sin1+1（λ≤-1） 则 ，解得t≤-1 （3）由（1）得f（x）=x ∴方程转化为=x2-2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2-2ex+m  （x＞0），（8分） ∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e 当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数； 当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分） 当x=e时，F（x）max=F（e）=（10分） 而G（x）=（x-e）2+m-e2   （x＞0） ∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分） 当x=e时，G（x）min=m-e2（12分） ∴当m-e2＞，即m＞e2+时，方程无解； 当m-e2=，即m=e2+时，方程有一个根； 当m-e2＜，即m＜e2+时，方程有两个根；（14分）