设函数y=f（x）=x2-bx+1，且y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称...

（1）已知函数y=f（x）=x2-bx+1，根据偶函数的性质，f（-x）=f（x），求出b值，设方程x2+1=kx+2的两根为x1，x2，由|AB|=，可以求出k值； （2）由（1）可知，将f（x）和g（x）代入F（x），对F（x）进行求导，利用导数研究函数的最值问题，从而求解； （3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x2）（2-x）≥恒成立，可以转化为≤（2x-x2），利用此不等式进行放缩，从而进行证明； 【解析】 （1）由已知，y=f（x）=x2-bx+1为偶函数，所以b=0；      …（2分） 设方程x2+1=kx+2的两根为x1，x2，由|AB|=得： |x1-x2|=== 解得k=-1；                                                         …（4分） （2）由（1）知f（x）=x2+1，g（x）=-x+2，故F（x）=f（x）g（x）=-x3+2x2-x+2， 由F′（x）=-3x2+4x-1=0，解得x1=1，x2=，…（6分） 列表如下： x （0，） （，1） 1 F′（x） - + F（x） 2 减函数 增函数 2 所以，函数F（x）在区间[0，1]上的最小值为f（）=；                  …（10分） （3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x2）（2-x）≥恒成立， 所以≤（2-x），有≤（2x-x2），…（12分） 当sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1时， ++≤[2（sinα+sinβ+sinγ）-（sin2α+sin2β+sin2γ） =                                    …（14分） 又1=（sinα+sinβ+sinγ）2≤3（sin2α+sin2β+sin2γ）， ∴sin2α+sin2β+sin2γ≥， ∴++≤（2-）=， 当且仅当sinα=sinβ=sinγ=时，等号成立．…（16分）