（理）已知函数f（x）=x2+aln（x+1）． （1）若函数f（x）在定义域内...

（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即函数f（x）在定义域内有两个不等的实根，根据二次方程根的个数与△的关系可构造关于a的不等式组，解出实数a的取值范围； （2）将a=1代入可得函数f（x）解析式，构造函数，分析函数g（x）在[1，+∞）上的单调性，进而根据单调性的定义可得结论； （3）构造函数h（x）=x3-x2+ln（x+1），利用导法分析函数的单调性，进而得到使不等式恒成立的最小的正整数N． 【解析】 （1）∵函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值， ∴在（-1，+∞）有两个不等实根， 即2x2+2x+a=0在（-1，+∞）有两个不等实根，…（2分） 设F（x）=2x2+2x+a，则， 解之得；             …（4分） 证明：（2）a=1时，f（x）=x2+ln（x+1）， 令，…（6分） 则， 当x≥1时，g′（x）≥0，所以函数g（x）在[1，+∞）上是增函数．              …（8分） 由已知，不妨设1≤x1＜x2＜+∞，则g（x1）＜g（x2）， 所以，即；                 …（10分） （3）令函数h（x）=x3-x2+ln（x+1），…（12分） 则， 当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在[0，+∞）上单调递增．            …（14分） 又h（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＞x2-x3恒成立． 取，则有恒成立， 故存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式恒成立．…（16分）