已知函数f（x）=x2ln|x|， （Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性； （Ⅱ）求函...

（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，求得f（-x），看f（x）与f（x）的关系式，进而判断函数的奇偶性． （Ⅱ）先看当x＞0时，根据导函数f'（x）大于0或小于0时的f（x）的单调区间，再根据函数的奇偶性判断求得其它的单调区间． （Ⅲ）要使方程f（x）=kx-1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx-1有交点，先看当k＞0时，用导函数求出当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值，再根据对称性求出k＜0时直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围． 【解析】 （Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0} f（-x）=（-x）2ln|-x|=x2lnx=f（x） ∴f（x）为偶函数 （Ⅱ）当x＞0时， 若，则f'（x）＜0，f（x）递减； 若，则f'（x）＞0，f（x）递增． 递增区间是和； 递减区间是和． （Ⅲ）要使方程f（x）=kx-1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx-1有交点． 函数f（x）的图象如图． 先求当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值． 当k＞0时，f'（x）=x•（2lnx+1） 设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y-f（a）=f'（a）（x-a）， 将x=0，y=-1代入，得-1-f（a）=f'（a）（-a） 即a2lna+a2-1=0（*） 显然，a=1满足（*） 而当0＜a＜1时，a2lna+a2-1＜0， 当a＞1时，a2lna+a2-1＞0 ∴（*）有唯一解a=1 此时k=f'（1）=1 再由对称性，k=-1时，y=kx-1也与f（x）的图象相切， ∴若方程f（x）=kx-1有实数解，则实数k的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．