已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1）） 处的切线的斜率是-5． ...

（1）当x＜1时，由f（x）=-x3+x2+bx+c，知f′（x）=-3x2+2x+b．依题意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0． （2）当x＜1时，由f（x）=-x3+x2，知f′（x）=-3x2+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=．列表讨论，得f（-1）=2；f（0）=0；f（）=；f（1）=0．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[-1，2]上的最大值． 【解析】 （1）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c， ∴f′（x）=-3x2+2x+b．…（2分） 依题意f′（-1）=-5， ∴-3（-1）2+2（-1）+b=-5，∴b=0， ∴f（0）=0，∴c=0， ∴b=0，c=0．…（4分） （2）当x＜1时，f（x）=-x3+x2， f′（x）=-3x2+2x，令f′（x）=0，有-3x2+2x=0，∴x=0，x=．…（6分） x -1 （-1，0） （0，） （，1） 1 f′（x） - + - f（x） 2 ↘ ↗ ↘ …（8分） f（-1）=2；f（0）=0；f（）=；f（1）=0． ∴当x∈[-1，1）时，f（x）最大值为2．…（9分） 当x∈[1，2]时， 当a＜0时，f（x）是减函数；当a=0时，f（x）=0，此时f（x）max=0；…（10分） 当a＞0时，f（x）是增函数，f（x）max=f（2）=aln2．…（11分） ∵当a时，有2≥aln2，f（x）max=2， 当a＞时，有2＜aln2，f（x）max=aln2．…（12分） ∴．…（13分）