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已知函数x2+ax+2blnx (1)若b=1时,函数f(x)在(0,1)上不单...

已知函数manfen5.com 满分网x2+ax+2blnx
(1)若b=1时,函数f(x)在(0,1)上不单调,求实数a的取值范围;
(2)若函数在(0,m)和(n,+∞)上为增函数,在(m,n)上为减函数(其中0<m<1,1<n<2).求b-a的取值范围.
(1)先求导函数,由于函数f(x)在(0,1)上不单调的情况不好讨论,要使函数f(x)在区间上是单调函数,则导数≤0或≥0恒成立,列出不等式求出解集即可到得到a的取值范围; (2)由函数的单调区间,得到导函数为0的解为m,n,再依据0<m<1,1<n<2,得到有关a,b的不等式,得到可行域,由线性规划问题,得到b-a的取值范围. 【解析】 (1)由已知,若函数f(x)在(0,1)上单调, 则恒成立,或恒成立, 由(0<x<1)恒成立等价于, 令,则μ(x)在(0,1)上为减函数,所以μ(x)>μ(1)=3,则3≥-a,即a≥-3. 由(0<x<1)恒成立等价于, 令,则μ(x)在(0,1)上为减函数,所以μ(x)>μ(1)=3, 所以(0<x<1)不恒成立. 综上所述a≥-3. (2)因为= 由已知:g(x)=x2+ax+2b=0的两根为m,n. 则,即 令μ=b-a,则b=a+μ,即μ为过点(a,b)且斜率为1的直线在b轴上的截距, 由得,即C(-3,1) 由可行域得:直线过点(-1,0),(-3,1)时,μ分别取最小值1,最大值4. 所以1<b-a<4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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