已知数列{an}满足：a1=，且an=（n≥2，n∈N*）． （1）求数列{an...

（1）将条件变为：1-=，因此{1-}为一个等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式． （2）a1•a2•an=，为证a1•a2•an＜2•n！只要证n∈N*时有＞．再由数数归纳法进行证明． 【解析】 （1）将条件变为：1-=，因此{1-}为一个等比数列，其首项为 1-=，公比，从而1-=， 据此得an=（n≥1）1° （2）证：据1°得，a1•a2•an= 为证a1•a2•an＜2•n！ 只要证n∈N*时有＞2° 显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有≥1-（）3° 用数学归纳法证明3°式： （1）n=1时，3°式显然成立， （2）设n=k时，3°式成立， 即≥1-（） 则当n=k+1时，≥〔1-（）〕•（） =1-（）-+（）≥ 1-（+）即当n=k+1时，3°式也成立． 故对一切n∈N*，3°式都成立． 利用3°得，≥1-（）=1- =1-＞ 故2°式成立，从而结论成立．