已知函数f（x）=kx2+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0． （1）若f...

（1）由f（2）=3，可得k的值，从而可得函数f（x）的表达式； （2）g（x）=f（x）-mx=-x2+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=，根据g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，可得或，从而可求实数m的取值范围； （3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的对称轴为，分类讨论，确定函数图象开口向上，函数f（x）在[-1，4]上的单调性，利用最大值是4，建立方程，即可求得结论． 【解析】 （1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=-1 ∴f（x）=-x2+2x+3； （2）由（1）得g（x）=f（x）-mx=-x2+（2-m）x+3，函数的对称轴为x= ∵g（x）在区间[-2，2]上是单调函数， ∴或 ∴m≤-2或m≥6； （3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的对称轴为 ①k＞0时，函数图象开口向上，，此时函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴，不合题意，舍去； ②k＜0时，函数图象开口向下，， 1°若，即时，函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（）= ∴k2+10k+9=0，∴k=-1或k=-9，符合题意； 2°若，即时，函数f（x）在[-1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4， ∴，不合题意，舍去； 综上，存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4，且k=-1或k=-9．