已知函数f（x）=ax2-2x+a-1，a∈R （1）若函数f（x）满足f（1-...

（1）根据函数满足f（1-x）=f（1+x），关于x=1对称，再求出函数f（x）=ax2-2x+a-1，的对称轴令其相等即可求出a值； （2）函数f（x）在区间上总是单调函数，讨论a=0，或a≠0的情况，讨论二次函数的图象及其对称轴，从而进行求解； （3）函数f（x）在区间上有零点，讨论a=0和a≠0的情况，a≠0时，讨论有几个零点可以有一个也可以有两个，利用转化的思想将问题转化为求函数的值域的问题； 【解析】 （1）∵函数f（x）=ax2-2x+a-1，a∈R， ∵函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），∴f（x）关于直线x==1对称， 因为f（x）的对称轴为x=， ∴=1，解得a=1； （2）∵函数f（x）在区间上总是单调函数， 若a=0，可得f（x）=-2x-1，是单调减函数，满足题意； 若a≠0可得，f（x）=ax2-2x+a-1，a∈R 对称轴为：x=-=，要使函数f（x）在区间上总是单调函数，可得 解得a≥2或a＜0或0＜a≤， 综上可得：a≤或a≥2； （3）当a=0时，令f（x）=0解得x=-不在区间上，不满足题意； 当a≠0时，函数f（x）=ax2-2x+a-1在区间上有零点⇔a（x2+1）=1+2x在区间上有解， ⇔a=在区间上有解，问题转化为函数y=在区间上的值域， 设t=1+2x∈[2，5]，g（t）=递减，t∈（，5），g（t）递增， 事实上，设0＜t1＜t2，则g（t1）-g（t2）=（t1+）-（t2+）=， 由0＜t1＜t2，得t1-t2＜0，0＜t1t2＜5，即g（t1）-g（t2）＞0 所以g（t）在（2，）上单调递减，同理得g（t）在（，5）上单调递增，又g（5）=6＞g（2）=4.5， 故g（）≤g（t）≤g（5）， ∴2≤g（t）≤6，，0＜2-2≤g（t）-2≤4， ∴1≤≤，1≤≤， ∴y∈[1，] 故实数a的取值范围为．…（14分）