已知函数f（x）=ax2+2x+c，且f（x）＞0的解集为． （1）求f（2）的...

（1）根据已知函数f（x）=ax2+2x+c，且f（x）＞0的解集为，可以函数开口向上，与x轴有一个交点，从而求解； （2）由（1）求出f（x）的解析式，对于任意的x∈[2+∞），f（x）+2≥mf'（x）恒成立，利用常数分离法，可以将问题转化为（x+2）+≥m在x∈[2+∞），恒成立，从而求出m的范围； 【解析】 （1）由题意可得⇒ac=1⇒c＞0 所以f（2）=4a+4+c≥2+4=8 当且仅当f（2）=4a+4+c≥2+4=8 当且仅当4a=c即时“=”成立， 故f（2）的取值范围为[8，+∞） （2）由（1）可得f（x）=x2+2x+2=（x+2）2，，∴f′（x）=x+2， 因为对于任意的x∈[2+∞），f（x）+2≥mf'（x）恒成立， ∴（x+2）+≥m在x∈[2+∞），恒成立， 故[（x+2）+]min≥m即可， 又函数y=（x+2）+在x∈[2+∞）上递增，所以[（x+2）+]min=， ∴m≤；