椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上...

（Ⅰ）由=及，解得a2=4，b2=3，由此能求出椭圆E的方程及直线AB的斜率． （Ⅱ）设AB的方程为 y=，代入椭圆方程得：x2-tx+t2-3=0，△=3（4-t2），|AB|=，点P到直线AB的距离为d=，故S△PAB==（-2＜t＜2）． 由此能求出△PAB的重心坐标． 【解析】 （Ⅰ）由=及， 解得a2=4，b2=3，…（1分） 椭圆方程为； …（2分） 设A（x1，y1）、B（x2，y2）， 由得 （x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，）， 即…（3分） 又，， 两式相减得；…（5分） （Ⅱ）证明：设AB的方程为 y=， 代入椭圆方程得：x2-tx+t2-3=0，…（6分） △=3（4-t2），|AB|=， 点P到直线AB的距离为d=， S△PAB==（-2＜t＜2）． …（8分） 令f（t）=3（2-t）3（2+t）， 则f’（t）=-12（2-t）2（t+1）， 由f’（t）=0得t=-1或2（舍）， 当-2＜t＜-1时，f’（t）＞0， 当-1＜t＜2时f’（t）＜0， 所以当t=-1时，f（t）有最大值81， 即△PAB的面积的最大值是；                 …（10分） 根据韦达定理得 x1+x2=t=-1， 而x1+x2=2+m，所以2+m=-1，得m=-3， 于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0， 因此△PAB的重心坐标为（0，0）．        …（12分）