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已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(...

已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
①f(0)f(1)>0;
②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0;
④f(0)f(3)<0;
⑤abc<4;
⑥abc>4.
其中正确结论的序号是( )
A.①③⑤
B.①④⑥
C.②③⑤
D.②④⑥
根据f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,确定函数的极值点及a、b、c的大小关系,由此可得结论. 【解析】 求导函数可得f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3) ∴当1<x<3时,f'(x)<0;当x<1,或x>3时,f'(x)>0 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)                单调递减区间为(1,3) 所以f(x)极大值=f(1)=1-6+9-abc=4-abc,        f(x)极小值=f(3)=27-54+27-abc=-abc 要使f(x)=0有三个解a、b、c,那么结合函数f(x)草图可知: a<1<b<3<c 及函数有个零点x=b在1~3之间,所以f(1)=4-abc>0,且f(3)=-abc<0 所以0<abc<4 ∵f(0)=-abc ∴f(0)<0 ∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0 故答案为:②③⑤
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考点分析:
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