由函数f(x)是定义在R上的奇函数且xf′(x)<f(-x)可得,[xf(x)]′<0,所以函数F(x)=xf(x)为(-∞,0]上的减函数,因为函数F(x)为偶函数,所以函数F(x)=xf(x)为[0,+∞)上的增函数.由得(2x-1)f(2x-1)<3f(3),所以F(2x-1)<F(3),所以|2x-1|<3,解得-1<x<2.
【解析】
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∴由xf′(x)<f(-x)可得xf′(x)+f(x)<0,即[xf(x)]′<0
∵当x∈(-∞,0]时,恒有xf′(x)<f(-x),
∴当x∈(-∞,0]时,恒有[xf(x)]′<0
设F(x)=xf(x)
则函数F(x)=xf(x)为(-∞,0]上的减函数.
∵F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)(-f(x))=xf(x)=F(x)
∴函数F(x)为R上的偶函数.
∴函数F(x)=xf(x)为[0,+∞)上的增函数.
∵
∴(2x-1)f(2x-1)<3f(3)
∴F(2x-1)<F(3)
∴|2x-1|<3
解得-1<x<2
故选A