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某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地,市规划部门计划利用它建...

某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地,市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场,如下图所示是步行小道设计方案示意图,其中,Ox,Oy分别表示自西向东,自南向北的两条主干道.设计方案是自主干道交汇点O处修一条步行小道,小道为抛物线y=x2的一段,在小道上依次以点manfen5.com 满分网为圆心,修一系列圆型小道,这些圆型小道与主干道Ox相切,且任意相邻的两圆彼此外切,若x1=1(单位:百米)且xn+1<xn
(1)记以Pn为圆心的圆与主干道Ox切于An点,证明:数列manfen5.com 满分网是等差数列,并求|OAn|关于n的表达式;
(2)记⊙Pn的面积为Sn,根据以往施工经验可知,面积为S的圆型小道的施工工时为manfen5.com 满分网(单位:周).试问5周时间内能否完成前n个圆型小道的修建?请说明你的理由.

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(1)依题意可设⊙pn的半径,由题意可得|pnpn+1|=rn+rn+1,代入点的坐标整理可得,结合等差数列的通项公式可求,进而可求xn,即可求解 (2)由==,代入Tn==,利用放缩法及裂项即可求解和,可求 【解析】 (1)依题意可设⊙pn的半径 ∵⊙pn与⊙pn+1相切 ∴|pnpn+1|=rn+rn+1 ∴=yn+yn+1 两边平方整理可得, ∵xn>xn+1>0 ∴xn-xn+1=2xnxn+1 ∴ ∴{}是以1为首项,以2为公差的等差数列 ∴=2n-1 ∴即 (2)∵== 设前几个圆型小道的施工总时为Tn= = < = ==<5 故5周内完成修建工作
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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