已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数...

已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0），对一切 manfen5.com 满分网

都成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

根据奇函数f（x）的定义域为R，可求得f（0）=0，再利用f（x）在[0，+∞）上是增函数，可将f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）化为cos2θ-mcosθ+2m-2＞0，令t=cosθ构造函数 f（t），f（t）=t2-mt+2m-2，（0≤t≤1）．根据其对称轴与区间[0，1]的关系可分类讨论求得m的取值范围．【解析】设存在实数m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对一切都成立， ∵奇函数f（x）的定义域为R， ∴f（0）=0， ∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）恒成立，又∵f（x）在R上单调递增， ∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m， ∴2cos2θ-4＞2mcosθ-4m， ∴cos2θ-mcosθ+2m-2＞0．设t=cosθ，由θ∈[0，]可知t∈[0，1]， ∴f（t）=t2-mt+2m-2，（0≤t≤1）．（1）当即m≤0时f（t）min=f（0）=2m-2＞0， ∴m＞1（舍）（2）当≥1即m≥2时f（t）min=f（1）=m-1＞0， ∴m≥2；（3）当0＜＜1，即0＜m＜2时，f（t）min=f（）=-m2+8m-8＞0， ∴4-2＜m＜4+2， ∴4-2＜m＜2．综上所述，m＞4-2．

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考点分析：

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（2）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

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设a＞0，

是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

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对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题；
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②若对x∈R，有f（x+1）=f（x-1），则y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
③若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
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试题属性

题型：解答题
难度：中等