已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，...

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）
（1）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（2）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

（1）令F（x）=f（x）-g（x）=，求出它的定义域为（-1，1），再由F（-x）=-F（x）可得，此函数为奇函数．（2）要使 f（x）+g（x）＜0成立，只要loga（1+x）（1-x）＜0．分a＞1和 0＜a＜1，分别解对数不等式求出x的集合．【解析】（1）函数f（x）-g（x）是奇函数，证明：令F（x）=f（x）-g（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=，由求得-1＜x＜1，故F（x）的定义域为（-1，1）．再由F（-x）==-=-F（x），可得F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．（2）要使 f（x）+g（x）＜0成立，只要loga（1+x）（1-x）＜0． ①当a＞1时，由loga（1+x）（1-x）＜0 可得，0＜（1+x）（1-x）＜1，解得-1＜x＜0，或 0＜x＜1，故使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为（-1，0）∪（0，1）． ②当 0＜a＜1时，由loga（1+x）（1-x）＜0 可得（1+x）（1-x）＞1，解得 x∈∅，此时，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为∅．

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考点分析：

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设a＞0，

是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

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对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题；
①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若对x∈R，有f（x+1）=f（x-1），则y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
③若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
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试题属性

题型：解答题
难度：中等