设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m...

（1）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令，即可求出的值； （2）先在定义域内任取两个值x1，x2，并规定大小，然后判定出f（x1），与f（x2）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论； （3）分别画出y=4sinx的图象与y=f（x）的图象，结合图象以及函数的单调性判定出交点的个数即可． 【解析】 （1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1）， ∴f（1）=0（2分） 令，则， ∴（4分） （2）设0＜x1＜x2，则 ∵当x＞1时，f（x）＞0 ∴（6分） （9分） 所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分） （3）∵y=4sinx的图象如右图所示 又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4 由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增， 且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的图象大致形状如右图所示， 由图象在[0，2π]内有1个交点， 在（2π，4π]内有2个交点， 在（4π，5π]内有2个交点，又5π＜16＜6π， 后面y=f（x）的图象均在y=4sinx图象的上方． 故方程4sinx=f（x）的根的个数为5个（16分）