设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1| （1）当a=1时，求曲线y=f（...

（1）将a=1代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率k=f′（1），切点为（1，2），根据点斜式即可写出切线方程； （2）由题意知当0＜x≤e时，，f（x）在（1，e]内单调性．当x≥e时，恒成立，故f（x）在[e，+∞）内单调递增．由此可知f（x）的单调增区间和单调递减区间； （3）分x≥e和x＜e两种情况讨论．分别对函数f（x）进行求导，根据导函数的正负判断出函数f（x）的单调性后可得到答案． 解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx-1| 令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1， 所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0． （2）当a=2时，f（x）=x2+3|lnx-1| = 当0＜x≤e时，， f（x）在（0，]内单调递减，在（，e]上单调递增； 当x≥e时，恒成立， 故f（x）在（0，]内单调递减，在（，+∞）上单调递增； （3）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，（x≥e） ∵a＞0， ∴f（x）＞0恒成立． ∴f（x）在[e，+∞）上增函数． 故当x=e时，ymin=f（e）=e2 ②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+1， （1≤x＜e） （i）当 ，即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数， 所以f（x）在区间[1，e）上为增函数． 故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e） （ii）当 ，即2＜a＜2e2时， f'（x）在 时为负数，在间 时为正数 所以f（x）在区间 上为减函数，在 上为增函数 故当 时，， 且此时 （iii）当 ；即a≥2e2时， f'（x）在x∈（1，e）时为负数， 所以f（x）在区间[1，e]上为减函数， 当x=e时，ymin=f（e）=e2． 综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2． 所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2； 当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为 ， 而 ， 所以此时f（x）的最小值为 ． 当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a， 而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a 所以函数y=f（x）的最小值为 ．