已知f（x）=x3+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函...

（1）根据f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；得到x=0是f'（x）=0的根，求导f'（x）=3x2+2bx+c，即可求得f'（0）=0，c=0； （2）根据f（1）=1+b+d，f（2）=0，得到d=-8-4b且b≤-3，利用不等式的基本性质可证f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2； （3）由f（x）=0有三根α，2，β；得到f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）=x3-（α+β+2）•x2-2αβ，因此；∴故|β-α|2=（α+β）2-4αβ=（b+2）2+2d=b2+4b+4-16-8b=b2-4b-12=（b-2）2-16，利用b≤-3，求得|β-α|≥3． 【解析】 （1）∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数； ∴x=0是f'（x）=0的根，又∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴f'（0）=0，∴c=0． （2）∵f（x）=0的根为α，2，β， ∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f'（2）≤0， ∴12+4b≤0，∴b≤-3，又d=-8-4b ∴d≥4 f（1）=1+b+d，f（2）=0 ∴d=-8-4b且b≤-3， ∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2 （3）∵f（x）=0有三根α，2，β； ∴f（x）=（x-α）（x-2）（x-β） =x3-（α+β+2）•x2-2αβ ∴； ∴|β-α|2=（α+β）2-4αβ =（b+2）2+2d =b2+4b+4-16-8b =b2-4b-12 =（b-2）2-16 又∵b≤-3，∴|β-α|≥3