已知椭圆，点在椭圆上，其左、右焦点为F1、F2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ...

已知椭圆

，点

在椭圆上，其左、右焦点为F₁、F₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若 manfen5.com 满分网

，过点

的动直线l交椭圆于A、B两点，请问在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）利用椭圆，点在椭圆上，建立方程，确定几何量的关系，即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）先求椭圆的标准方程，再由特殊情况猜想M（0，1），进而证明一般性的结论成立．【解析】（Ⅰ）∵椭圆，点在椭圆上， ∴，∴a2=2b2，∴c2=a2-b2=b2， ∴=；（Ⅱ）∵ ∴（-c-b，-）•（c-b，-）= ∴ ∴a=，b=1 ∴椭圆方程为；假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1① 当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+（y+）2=② 由①，②知定点M（0，1）下证：以AB为直径的圆恒过定点M（0，1）．设直线l：y=kx-，代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2--=0 设A（x1，y1），B（（x2，y2），则x1+x2=，x1x2= ∵， ∴=x1x2+（y1-1）（y2-1）=（1+k2）x1x2-k（x1+x2）+=0 ∴在x轴上存在定点M（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

已知椭圆，点在椭圆上，其左、右焦点为F1、F2． （Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ...

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