已知函数f（x）= （1）求f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性并证明； （2...

（1）首先求出定义域，根据f（-x）与f（x）之间的关系，判断函数的奇偶性； （2）要分两种情况，进行讨论a＞1或a＜1，然后再利用导数求最值，将问题转化为求最值问题； 【解析】 （1）∵＞0， ∴x＜-1或x＞1 ∴定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）…（2分） 当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f（-x）=， =-loga=-f（x）， ∴f（x）为奇函数．            …（6分） （2）由x∈[2，4]时，f（x）＞恒成立， ①当a＞1时，＞， ∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x） 设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x）=-x3+7x2+x-7 ∴g′（x）=-3x2+14x+1=-3（x-）2+， 当x∈[2，4]时，g′（x）＞0， ∴g（x）min=g（2）=15， ∴0＜m＜15 …（10分） ②当0＜a＜1时，x∈[2，4]，， ∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）， g（x）=（x+1）（x-1）（7-x）=-x3+7x2+x-7， ∴g′（x）=-3x2+14x+1=-3（x-）2+ 由①知，g（x）在[2，4]上为增函数， ∴g（x）max=g（4）=45，∴m＞45 ∴m的取值范围是（0，15）∪（45，+∞）；         …（13分）