已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明...

已知定义域为R的函数f（x）= manfen5.com 满分网

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的范围．

（1）根据奇函数定义，利用f（0）=0且f（-1）=-f（1），列出关于a、b的方程组并解之得a=b=1；（2）根据函数单调性的定义，任取实数x1、x2，通过作差因式分解可证出：当x1＜x2时，f（x1）-f（x2）＞0，即得函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0转化为：k＜3t2-2t对任意的t∈R都成立，结合二次函数的图象与性质，可得k的取值范围．【解析】（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1 又∵f（-1）=-f（1） ∴=-，解之得a=1 经检验当a=1且b=1时，f（x）=，满足f（-x）=-f（x）是奇函数． …（4分）（2）由（1）得f（x）==-1+，任取实数x1、x2，且x1＜x2 则f（x1）-f（x2）=-= ∵x1＜x2，可得，且 ∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数； …（8分）（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为减函数． ∴不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，即f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k）也就是：t2-2t＞-2t2+k对任意的t∈R都成立．变量分离，得k＜3t2-2t对任意的t∈R都成立， ∵3t2-2t=3（t-）2-，当t=时有最小值为- ∴k＜-，即k的范围是（∞，-）． …（12分）

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考点分析：

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