已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（-1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的...

已知椭圆C：

的右焦点为F（1，0），且点（-1， manfen5.com 满分网

）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得 manfen5.com 满分网

恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．【解析】（1）由题意，c=1 ∵点（-1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a= ∴b2=a2-c2=1， ∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（-，0），则=-，∴，∴m=① 当直线l的斜率不存在时，，，则•=-，∴ ∴m=或m=② 由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty-1=0，∴y1+y2=-，y1y2=- ∴=（x1-，y1）•（x2-，y2）=（ty1-）（ty1-）+y1y2=（t2+1）y1y2-t（y1+y2）+=+=- 综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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