已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）...

（Ⅰ根据不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）得出x=1和x=3是方程ax2+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根列出关于a，b的等式再根据方程f（x）+6a=0有两个相等的实根得到：△=0求得a值，从而得到f（x）的解析式； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a配方后即可求得其最大值为再由题意得出关于a的不等关系，即可求得a的取值范围． 【解析】 （Ⅰ）∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3） ∴x=1和x=3是方程ax2+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根 ∴ ∴b=-4a-2，c=3a 又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根 ∴△=b2-4a（c+6a）=0 ∴4（2a+1）2-4a×9a=0 ∴（5a+1）（1-a）=0 ∴或a=1（舍） ∴ ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a== ∵a＜0， ∴f（x）的最大值为 ∵f（x）的最大值为正数 ∴ ∴解得或 ∴所求实a的取值范围是