已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R， （1）若f（-1）...

（1）f（-1）=0⇒a-b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a-b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可； （2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可． （3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）-f（n）=a（m2-n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可． 【解析】 （1）∵f（-1）=0， ∴a-b+1=0①（1分） 又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0 且由知即4a-b2=0② 由①②得a=1，b=2（3分） ∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2． ∴（5分） （2）由（1）有g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1=，（7分） 当或时， 即k≥6或k≤-2时，g（x）是具有单调性．（9分） （3）∵f（x）是偶函数 ∴f（x）=ax2+1，∴，（11分） ∵m＞0，n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0， ∴|m|＞|-n|（13分） ∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am2+1）-an2-1=a（m2-n2）＞0， ∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）