已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3． （1）求函数f（x）在[t...

（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值． （2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果． （3）要证明不等式成立，问题等价于证明，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，构造新函数，得到结论． 【解析】 （1）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 当，f'（x）＞0，f（x）单调递增． ①，t无解； ②，即时，； ③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt； ∴． （2）2xlnx≥-x2+ax-3，则， 设，则， x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增， 所以h（x）min=h（1）=4 因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4； （3）问题等价于证明， 由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取到 设，则，易得， 当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．