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椭圆上有两点P，Q，O是坐标原点，若OP，OQ的斜率之积为-． （1）求证：|O...

椭圆manfen5.com 满分网上有两点P，Q，O是坐标原点，若OP，OQ的斜率之积为-manfen5.com 满分网．
（1）求证：|OP|2+|OQ|2是定值．
（2）求PQ的中点M的轨迹方程．
（1）利用参数设出点的坐标，根据OP，OQ的斜率之积为-，可得α-β=2kπ±，进而可得|OP|2+|OQ|2是定值； （2）确定PQ的中点M的坐标，消去参数，即可求得PQ的中点M的轨迹方程． （1）证明：设P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ）． ∵OP，OQ的斜率之积为-， ∴ ∴cos（α-β）=0， ∴α-β=2kπ±，k∈Z． ∴|OP|2+|OQ|2=16（cosα）2+4（sinα）2+16（cosβ）2+4（sinβ）2=20（cosβ）2+20（sinβ）2=20为定值； （2）【解析】 设M（x，y），则x=2cosα+2cosβ，即=cosα+cosβ①，y=sinα+sinβ② ∴①2+②2可得：=2，即．
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考点分析：
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试题属性
  • 题型：解答题
  • 难度：中等
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