已知椭圆C的方程为（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆为椭圆C的“伴随...

（Ⅰ）由题意得，，由b=1，知a2=3，由此能求出椭圆C的方程和“伴随圆”的方程． （Ⅱ）当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．设直线CD的方程为y=kx+m，则由，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0．故，，由此能求出△AOB的面积取最大值． 【解析】 （Ⅰ）由题意得，， 又∵b=1，∴a2=3，∴椭圆C的方程为，（3分） ∵=， ∴“伴随圆”的方程为x2+y2=4．（4分） （Ⅱ）①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=． ②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为． 设直线CD的方程为y=kx+m，则由，得， 设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0． ∴，．（6分） 当k≠0时， = =（1+k2）[-] = =3+ =3+ =4． 当且仅当9k2=，即k=时等号成立，此时|AB|=2． 当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2， 此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．（10分）