设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐...

设椭圆C₁：

的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=mx²-n（m＞0，n＞0）与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）设M（0， manfen5.com 满分网

），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

（1）由题设条件知n=1，再由F1（-1，0），F2（1，0），故m=1，由此可求出抛物线C2的方程．（2）先写出直线PQ的方程，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程．然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．最后利用求函数最值的方法即可求得△MPQ面积的最大值．【解析】（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故n=1．又F1（-1，0），F2（1，0），故m=1．所以抛物线C2的方程为：y=x2-1（15分）（2）设N（t，t2-1），由于y'=2x知直线PQ的方程为：y-（t2-1）=2t（x-t）．即y=2tx-t2-1．（7分）代入椭圆方程整理得：4（1+5t2）x2-20t（t2+1）x+5（t2+1）2-20=0， △=400t2（t2+1）2-80（1+5t2）[（t2+1）2-4]=80（-t4+18t2+3），，，故=．（10分）设点M到直线PQ的距离为d，则．（12分）所以，△MPQ的面积 S====（14分）当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．综上可知，△MPQ的面积的最大值为．（15分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等