已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）已知对任意的x＞0，a...

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导函数，由f′（x）＞0，可得函数f（x）的单调增区间；由f′（x）＜0，可得函数的单调减区间，从而可求函数的极值； （Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，分类讨论①2-lnx＞0时，恒成立；②2-lnx＜0时，恒成立，研究右边函数的最值，即可求得实数a的取值范围； （Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0，利用函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为，结合函数的定义域[1，e]进行分类讨论，从而可得结论． 【解析】 （Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞） 求导函数可得 由f′（x）＞0，可得；由f′（x）＜0，可得 ∴函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为 当时，函数取得极大值为； （Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，则 ①2-lnx＞0时，恒成立 令， ∴ 当lnx＜1时，g′（x）＜0，当1＜lnx＜2时，g′（x）＞0， ∴lnx=1时，即x=e时，函数取得最小值为 ∴ ②2-lnx＜0时，恒成立 令， ∴ 当2-lnx＜0时，g′（x）＞0， ∴函数在（e2，+∞）上单调增，函数无最大值，故此时不恒成立； ∴实数a的取值范围是； （Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0 由（Ⅰ）知函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为 若，即，则函数f（x）在[1，e]上最小值为=0， ∴a=e，不满足题意 若，即a＞1，则函数f（x）在[1，e]上最小值为f（1）=1，不满足题意 综上知，不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0．