设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=nan-n（n-1）． （Ⅰ）求...

（I）由题意已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=nan-n（n-1），已知前n项和求通项； （II）在（I）中求出数列an的通项，利用列项相消法求解即可． （III）利用（I）（II）得出cn===3n2+n，再利用正整数的平方和公式及等差数列的求和公式求解即得． 【解析】 （I）n≥2时，Sn=nan-n（n-1）， ∴Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2）， 两式相减得an=nan-（n-1）an-1-2（n-1），则（n-1）an=（n-1）an-1+2（n-1）， ∴an=an-1+2 ∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列， ∴an=2n； （II）∵an=+++…+， ∴an-1=+++…+， ∴当n≥2时，有an-an-1=， 由（I）得an-an-1=2， ∴bn=2（3n+1）， 而当n=1时，也成立， ∴数列{bn}的通项公式bn=2（3n+1）（n∈N*）， （III）cn===3n2+n， ∴数列{cn}的前n项和Tn=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n） =3×n（n+1）（2n+1）+n（n+1） =n（n+1）（4n+5）．