在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2...

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 manfen5.com 满分网

（a＞b＞0）的离心率为 manfen5.com 满分网

，其焦点在圆x²+y²=1上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使 manfen5.com 满分网

．
（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
（ii）求OA²+OB²．

（1）由已知中椭圆的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上我们可以求出a，b，c的值，进而得到椭圆的方程；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），由．可得x，y的坐标表达式，进而根据M在椭圆上，可得为定值．（ii）由（i）中结论，可得y12+y22=1，及x12+x22=2，进而得到OA2+OB2 【解析】（1）依题意，得 c=1．于是，a=，b=1． …（2分）所以所求椭圆的方程为． …（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值． …（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3． …（16分）

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考点分析：

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