已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）（Ⅰ）求函数f...

已知函数f（x）=2 manfen5.com 满分网

sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0， manfen5.com 满分网

]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）= manfen5.com 满分网

，x∈[

，

]，求cos2x的值．

先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x代入化简后的函数解析式可得到sin（2x+）=，再根据x的范围可求出cos（2x+）的值，最后由cos2x=cos（2x+）可得答案．【解析】（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1，得 f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x）-1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=-1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为-1．（Ⅱ）由（1）可知f（x）=2sin（2x+）又因为f（x）=，所以sin（2x+）= 由x∈[，]，得2x+∈[，] 从而cos（2x+）=-=-．所以 cos2x=cos[（2x+）-]=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin=．

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考点分析：

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设函数f（x）=x²-2a|x|（a＞0）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并写出x＞0时f（x）的单调增区间；
（2）若方程f（x）=-1有解，求实数a的取值范围．

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已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，求a的取值范围；
（3）试证明对∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）= manfen5.com 满分网