已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好...

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为-1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．【解析】（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分） f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）由条件②式…（5分）由①②式解得a=1，b=3 （2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤-2，…（8分） ∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增 ∴[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝） ∴m≥0或m+1≤-2 ∴m≥0或m≤-3

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考点分析：

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对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数 manfen5.com 满分网