已知函数． （I）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）函数f（x）在区间[1，2]...

（Ⅰ） 先求导函数，根据，可得，从而可得在区间和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在区间上f′（x）＜0，由此可得f（x）的单调递增区间与单调递减区间； （Ⅱ）确定f（x）在x∈[1，2]的最大值，即可判断不存在符合条件的a，使得f（x）=0； （Ⅲ）证明一：当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减， 只需证明，都成立，即可得证命题成立；       证明二：当时，，x∈（1，2）f′（x）在上单调递减，在上单调递增，确定，，利用导数的几何意义即可证得结论． 【解析】 （x＞0）． （Ⅰ） （x＞0）．（2分） ∵，∴， ∴在区间和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在区间上f′（x）＜0， 故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．（4分） （Ⅱ）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值． 由（Ⅰ）可知，当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．（6分） 由可知，所以2lna＞-2，所以-2lna＜2， 所以，-2-2lna＜0，所以f（x）max＜0， 故不存在符合条件的a，使得f（x）=0．（8分） （Ⅲ）证明一：当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减， 只需证明，都成立，即可得证命题成立．（10分）          ，设，， ∴g（a）在上是减函数， ，设， ∴h（a）在上是增函数， 综上述命题成立．（12分）     证明二：当时，，x∈（1，2）f′（x）在上单调递减，在上单调递增，f′（1）=1-a＞0，f′（2）=0，， ∵， ∴，．（10分） 由导数的几何意义，有对任意x1，x2∈（1，2），x1≠x2．（12分）