已知函数f（x）=xe-x（x∈R） （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （...

（1）先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值． （2）先利用对称性求出g（x）的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得． （3）通过题意分析先讨论，可设x1＜1，x2＞1，利用第二问的结论可得f（x2）＞g（x2），根据对称性将g（x2）换成f（2-x2），再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系． 【解析】 （Ⅰ）【解析】 f′（x）=（1-x）e-x 令f′（x）=0，解得x=1 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表 所以f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数． 函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=． （Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）ex-2 令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe-x+（x-2）ex-2 于是F'（x）=（x-1）（e2x-2-1）e-x 当x＞1时，2x-2＞0，从而e2x-2-1＞0，又e-x＞0，所以f′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数． 又F（1）=e-1-e-1=0，所以x＞1时，有f（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）． （Ⅲ）证明：（1）若（x1-1）（x2-1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1．与x1≠x2矛盾． （2）若（x1-1）（x2-1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．与x1≠x2矛盾． 根据（1）（2）得（x1-1）（x2-1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1． 由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2）， 则g（x2）=f（2-x2）， 所以f（x2）＞f（2-x2）， 从而f（x1）＞f（2-x2）． 因为x2＞1，所以2-x2＜1， 又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内是增函数， 所以x1＞2-x2，即x1+x2＞2．