定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意m＞0，n∈R有f（mn）=nf（m...

（1）利用赋值，取m=1，n=2可求f（1） （2）设x＞1，则，结合已知可得，由f（mn）=nf（m），可得可证 （3）由f（mα+β）=f（mα×mβ）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（mα）+f（mβ），可得f（xy）=f（x）+f（y），设0＜x1＜x2，则，根据单调性的定义可证 （1）【解析】 取m=1，n=2得f（12）=2f（1）， ∴f（1）=0 （2）证明：设x＞1，则，又0＜x＜1时，f（x）＜0， ∴ ∵m＞0，n∈R有f（mn）=nf（m）， ∴ ∴f（x）＞0 即x＞1时，f（x）＞0 （3）证明：∵f（mα+β）=f（mα×mβ）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（mα）+f（mβ）， 记mα=x＞0，mβ=y＞0，则f（xy）=f（x）+f（y）， 设0＜x1＜x2，则即f（x1）＜f（x2）， 故函数f（x）在（0，+∞）上单增．