设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（，0）成中心对称．（1）证明...

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且图象关于点（ manfen5.com 满分网

，0）成中心对称．
（1）证明：y=f（x）为周期函数，并指出其周期；
（2）若f（-1）=-2，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．

（1）f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，可得到f（x+3）+f（-x）=0，结合f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（x+3）=f（x），问题得证；（2）f（x）为奇函数，由f（-1）=-2，可求得f（1）=2，f（0）=0，结合其周期为3，可求得f（1）+f（2）+f（3）=0，从而利用其和的周期性解决．证明：（1）∵函数f（x）图象关于点（，0）成中心对称， ∴f（x）+f（3-x）=0， ∴f（x+3）+f（-x）=0， ∴f（x+3）=-f（-x），又f（x）为奇函数， f（-x）=-f（-x）， ∴f（x+3）=f（x）， ∴y=f（x）为周期函数，其周期T=3．（2）∵f（-1）=-2，f（x）为奇函数， ∴f（1）=2，又f（0）=0， ∴f（2）=f（2-3）=f（-1）=-2，f（3）=f（0）=0， f（1）+f（2）+f（3）=0， f（4）+f（5）+f（6）=0， … ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011） =670[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2011）] =f（2011）=f（670×3+1）=f（1）=2．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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