已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：f'（1）=0，． （Ⅰ）求f...

（Ⅰ）根据f（x）为奇函数，可得b=d=0，求导函数，利用f'（1）=0，，即可求得函数解析式； （Ⅱ）设任意两数x1，x2∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，求出这两点的切线的斜率，证明斜率之积k1k2≠-1即可； （Ⅲ）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等价于|f（x）|max-|f（x）|min≤m，由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，只需求出在[-2，2]上的最值，即可求得m的最小值． （Ⅰ）【解析】 因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以b=d=0， 所以f（x）=ax3+cx，求导函数，可得f′（x）=3ax2+c 由f'（1）=0，得3a+c=0，由，得 解之得： 从而，函数解析式为： （Ⅱ）证明：由于f'（x）=x2-1，设任意两数x1，x2∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是： 又因为-1≤x1≤1，-1≤x2≤1，所以k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0，知k1k2≠-1 故当x∈[-1，1]时，函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直 （Ⅲ）【解析】 |f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等价于|f（x）|max-|f（x）|min≤m 由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，∴只需求出在[-2，2]上的最值 而f'（x）=x2-1，由f'（x）=0解得x=±1 列表如下： x -2 （-2，-1） -1 （-1，1） 1 （1，2） 2 f'（x） + - + f（x） 递增 递减 递增 ∴， ∴， ∴m的最小值为．