设椭圆的左、右焦点分别为F1与F2，直线y=x-1过椭圆的一个焦点F2且与椭圆交...

（1）根据直线与x轴交点求得c，进而根据椭圆的定义求得|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，根据△F1PQ的周长求得a，则b可求得，进而求得椭圆的方程． （2）根据题意可求得曲线C'的方程，整理得圆的方程，根据直线l与圆相切求得原点到直线的距离进而求得k和m的关系式，与椭圆方程联立设A（x1，y1），B（x2，y2）根据判别式求得k的范围，依据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而根据直线方程表示出y1y2，进而根据m2=1+k2求得x1+x2和x1x2关于k的表达式，进而求得的表达式，根据λ的范围确定k的范围，根据弦长公式表示出|AB|，根据k的范围确定|AB|的范围，进而利用|AB|表示出△OAB面积求得△OAB面积的取值范围． 【解析】 （1）依题意y=x-1与x轴交于点F2（1，0） 即c=1． 又|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a 所以|PF1|+|PQ|+|QF1|=|PF1|+|PF2|+|QF2|+|QF1|=4a∴，∴b2=a2-c2=1 所以椭圆C的方程为 （2）依题意曲线C'的方程为 即圆x'2+y'2=1． 因为直线l：y=kx+m与曲线C'相切， 所以， 即m2=k2+1． 由 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0 设A（x1，y1），B（x2，y2） 所以△＞0，即k2＞0， 所以k≠0． 所以 所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）= 又m2=1+k2 所以 所以 又 所以， 所以 又 设u=k4+k2 因为，所以 在上为递增函数， 所以 又O到AB的距离为1， 所以 即△OAB的面积的取值范围为