设数列{an}满足：an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，… （1）当a...

本题考查的知识点是归纳推理和数学归纳法． （1）由列{an}满足：an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…及a1=2，我们易得到a2，a3，a4的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出an的一个通项公式． （2）①an≥n+2的证明可以使用数学归纳法，先证明n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，进而论证n=k+1时，不等式依然成立，最终得到不等式an≥n+2恒成立．②的证明用数学归纳法比较复杂，观察到不等式的结构形式，可采用放缩法进行证明． 解（1）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3 由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4 由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5 由此猜想an的一个通项公式：an=n+1（n≥1） （2）（i）用数学归纳法证明： ①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立． ②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2，那么ak+1=ak（ak-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1=2k+5≥k+3． 也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+2 据①和②，对于所有n≥1，有an≥n+2． （ii）由an+1=an（an-n）+1及（i），对k≥2，有ak=ak-1（ak-1-k+1）+1≥ak-1（k-1+2-k+1）+1=2ak-1+1 ak≥2k-1a1+2k-2++2+1=2k-1（a1+1）-1 于是，k≥2