已知函数f（x）=2lnx，g（x）=ax2+3x．（1）设直线x=1与曲线y...

已知函数f（x）=2lnx，g（x）= manfen5.com 满分网

ax²+3x．
（1）设直线x=1与曲线y=f（x）和y=g（x）分别相交于点P、Q，且曲线y=f（x）和y=g（x）在点P、Q处的切线平行，若方程 manfen5.com 满分网

f（x²+1）+g（x）=3x+k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；
（2）设函数F（x）满足F（x）+x[f′（x）-g′（x）]=-3x²-（a+6）x+1．其中f′（x），g′（x）分别是函数f（x）与g（x）的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈（0，1]时，F（x）取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

（1）易求出P（1，0），曲线y=f（x）在点P处的切线斜率为f′（1）=2，同样地y=g（x）在点Q处的切线斜率为g′（1）=a+3=f′（1），所以a=-1．将方程f（x2+1）+g（x）=3x+k化为ln（x2+1）-x2=k．y1=ln（x2+1）-x2，利用导数工具得出其单调性，k的取值应使得y1的图象与直线y=k有四个不同的交点．（2）F（x）=（a-3）x2-（a+3）x-1．结合二次函数的性质求解．【解析】（1）f′（1）=2，且P（1，0），∴f（x）在P点处的切线方程为y=2（x-1），即2x-y-2=0…（2分）又g′（1）=a+3，∴a=-1．…（3分）故g（x）=-x2+3x，则方程f（x2+1）+g（x）=3x+k可化为 ln（x2+1）-x2=k．令y1=ln（x2+1）-x2，则y1′=-x=- 令y1′=0得x=-1，0，1．因此y1′及y的变化情况如下表： x （-∞，-1） -1 （-1，0）（0，1） 1 （1，+∞） y1′ + - + - y 单调递增极大值ln2- 单调递减极小值0 单调递增极大值ln2 -1 单调递减所以（y1）极大值=ln2-，（y1）极小值=0．…（6分）又∵方程有四个不同实数根，函数y=ln（x2+1）-x2为偶函数，且当x2+1=e3（x=＞1）时，ln（x2+1）-x2=3-（e3-1）=-e3＜0=（y1）极小值，所以0＜k＜ln2-．…（8分）（2）∵F（x）+x[f′（x）-g′（x）]=-3x2-（a+6）x+1． ∴F（x）=（a-3）x2-（a+3）x-1．…（9分） ①当a=3时，F（x）=-6x-1在（0，1]上是减函数，可知F（x）取不到最大值． ②当a＜3时，F（x）的对称轴为x=，若x∈（0，1]时，F（x）取得最大值．则＞0解得a＜-3或a＞3，从而a＜-3． ③当a＞3时，若x∈（0，1]时，F（x）取得最大值，则＜时，此时a∈∅．综上所述，存在实数a∈（-∞，-3），使得当x∈（0，1]时，F（x）取得最大值．…（13分）

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考点分析：

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广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场，在欧债危机的影响下，欧州市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自2010年9月以来的第n个月（2010年9月为每一个月），产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位万件），分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n+1=aa_n，c_n+1=a_n+b manfen5.com 满分网

（其中a、b为常数），且a₁=1万件，a₂=1.5万件，a₃=1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）如果该企业产品的销售总量a_n呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运作正常且不会出现资金危机；试证明：a_n＜a_n+1＜2．
（3）试求从2010年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式．

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定义在非零实数集上的函数f（x）满足关系式f（xy）=f（x）+f（y）且f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（2）解不等式f（x）+f（x- manfen5.com 满分网