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已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好...

已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.
(1)将M的坐标代入f(x)的解析式,得到关于a,b的一个等式;求出导函数,求出f′(1)即切线的斜率,利用垂直的两直线的斜率之积为-1,列出关于a,b的另一个等式,解方程组,求出a,b的值. (2)求出 f′(x),令f′(x)>0,求出函数的单调递增区间,据题意知[m,m+1]⊆(-∝,-2]∪[0,+∝),列出端点的大小,求出m的范围. 【解析】 (1)∵f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),∴a+b=4①式 …(1分) f'(x)=3ax2+2bx,则f'(1)=3a+2b…(3分) 由条件②式…(5分) 由①②式解得a=1,b=3 (2)f(x)=x3+3x2,f'(x)=3x2+6x, 令f'(x)=3x2+6x≥0得x≥0或x≤-2,…(8分) ∵函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增 ∴[m,m+1]⊆(-∝,-2]∪[0,+∝) ∴m≥0或m+1≤-2 ∴m≥0或m≤-3
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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