已知定义在R的函数f（x）对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+...

（1）判断函数的单调性，首先要结合定义域和所给区间任设两个变量并保证大小关系，然后通过f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）＜f（x2）即可获得相应变量对应函数值的大小关系，结合函数单调性的定义即可获得问题的解答；赋值求出f（0）=0，再令x1=-x，x2=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）构造出f（-x）与f（x）的方程研究其间的关系，得出奇偶性，解答本题时注意做题格式，先判断后证明． （2）此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答时，先结合存在性问题的特点先假设存在m符合题意，然后将问题转化为恒成立的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答． 【解析】 （1）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x 有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0， 即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数 在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，由题意知f（x1-x2）＜0 则f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＞0 故f（x）是增函数 （2）要使 只须 又由f（x）为单调增函数有 令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t2-1，∵，∴ 原命题等价于对恒成立∴，即 令，在时g′（t）＜0，故g（t）在上为减函数，∴m＞3时，原命题成立． 法2：由对恒成立 有（t2-mt+2）（t-2）＞0，∵t-2＜0，故t2-mt+2＜0在恒成立 只需⇒m＞3